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四川成人高考文科数学复习重点:数列的通项与求和

它是序列概念的延续和延伸。数列的通项公式和前n项公式可以看作是数n的函数,是函数思想在数列中的应用。数列问题以通项为纲,最后归结为数列通项的研究。数列的前n项和Sn项可以看作数列{Sn}的通项和求和,是数列中最基本、最重要的问题之一,与数列极限和数学归纳法密切相关。

磁场困难

()设{an}为正数序列,其中前n项之和为s n,对于所有自然数n,an和2的等中值等于Sn和2的等中值。

(1)写出序列{an}的前三项。

(2)求数列{an}的通式(写出推导过程)

(3)设bn=(nN*)并求(b1 b2 b3 … bn-n)。

案例研究

[例1]已知数列{an}是容差为D的算术级数,数列{bn}是q (qR和q1)的常见比值的几何级数。如果函数f(x)=(x-1)2,a1=f(d-1),a3=f(d-1)

(1)求出序列{an}和{bn}的通式;

(2)设序列{cn}的前N项之和为Sn,对于所有nN*,有=1。

用意:本题主要考查算术、几何级数的通项公式、第一N和公式、数列的极限,以及运算和综合分析问题的能力。这是一个等级问题。

知识支撑:利用函数思想将假设条件转化为方程非常明显。在(2)中,条件方程的左侧可以看作某个序列的前n项之和,本质上是序列的前n项之和与序列{an}的关系。利用通项与前n项之和的关系求解cn是这种条件变换的突破。

错误解答分析:本题两题相通。(1)问题是基础,但解方程求基本量a1、b1、D、Q是不允许出错的。(2)正确认识和改造条件是关键。

技巧和方法:这个问题(1)问如何把函数思想转化为方程问题,比较自然;(2)要求“借鸡下蛋”构造一个新的数列{dn},利用和与通称的关系找出dn,都在一个线程中。

解:(1)a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d-1)=D2,

a3-a1=d2-(d-2)2=2d,

d=2,an=a1(n-1)d=2(n-1);B1=f(q-1)=Q2,b3=f(q-1)=(q-2)2,

=q2,q=-2从qR和q1,

bn=b qn-1=4 (-2)n-1

(2)如果阶=dn,那么d1 d2 … dn=an 1,(nN*),

dn=an 1-安=2,

=2,即cn=2bn=8(-2)n-1;Sn=[1-(-2)n]。

[例2]设An为数列{an}的前n项之和,An=(an-1),数列{bn}的通式为bn=4n ^ 3;

(1)求数列{an}的通式;

(2)将序列{an}和{bn}的常用项从小到大排列成新的序列,证明序列{dn}的通项公式为dn=32n 1;

(3)设序列{dn}的第n项为序列{bn}的R项,Br为序列{bn}的前R项之和;Dn是序列{dn}的前n项之和,Tn=Br-Dn,find。

命题:本题考查级数的通项公式,前N项和公式及其关系;设置相关概念,顺序限制,逻辑推理能力。

知识支持:利用项目与和谐的关系找到答案是这个问题的前提;(2)要探索{an}和{bn}的相似性,必须使用二项式定理;(3)求和公式求和是最基本的知识点。

错误分析:dn=32n 1与待证an的共同点容易被忽略,难以移动;不注意R和N的关系,使Tn既包含N又包含R,会使要求的界限模糊不清。

技巧和方法:(1)中项与和声的关系是常规方法;(2)中项把3拆解成4-1,然后用二项式定理以级数通项的形式找出相似之处,是一枝妙笔;(3)挖掘问题中n和r的关系,正确表达Br,问题就容易解决了。

解:(1)从An=(an-1)可知,An 1=(an 1-1)、

an 1-an=(an 1-an),即=3,而a1=A1=(a1-1),我们得到a1=3,所以数列是以3为第一项,公比为3的几何级数,且通

1.数列的顺序是数列定义的灵魂,所以要注意区分数列中的项和数列集合中的元素的异同。因此,在研究数列问题时,要注意函数法的普遍性和数列法的特殊性。

2.序列{an}和Sn的前n项与通项an: an=3的关系。寻找通用术语的常用方法

制定新的排序方法。做算术级数和几何级数。

累积差分叠加法。最基本的形式是:an=(an-an-1 (an-1an-2).(a2-a1) a1。

归纳和猜测想法。

4.该系列的前N项和常见解决方案

重要公式

1 2 … n=n(n 1)

12 22…N2=n(n ^ 1)(2n ^ 1)

13 23 … n3=(1 2 … n)2=n2(n 1)2

算术级数中Sm n=Sm Sn mnd,几何级数中Sm n=Sn qnSm=Sm qmSn。

拆分项之和:将数列的通项分成两个公式的代数和,即an=f(n ^ 1)-f(n),然后在累加时抵消掉很多中间项。应掌握以下常见的拆分术语:

取消错误项目

平行项之和

级数一般项的求和方法很多,要根据具体情况选择合适的方法。